Як скласти рівняння: прості приклади для прямих і дотичних

Математика часто здається складною лише на перший погляд. Знати, як скласти рівняння, — означає розуміти, як описати будь-який об’єкт або залежність мовою чисел. Найчастіше учні та студенти стикаються з тим, як скласти рівняння прямої, прямої яка проходить через 2 точки чи дотичної до графіка функції. Розберімо, як це працює крок за кроком.

Що таке рівняння прямої

Пряма — одна з найпростіших геометричних фігур. Її можна задати за допомогою рівняння виду y = kx + b, де k — кутовий коефіцієнт (тангенс кута нахилу), а b — точка перетину з віссю Oy. Вміючи працювати з такою формою, можна без проблем знаходити рівняння будь-якої прямої.

Як скласти рівняння прямої за двома точками

Найчастіше задача звучить так: скласти рівняння прямої яка проходить через 2 точки. Щоб знайти таке рівняння, достатньо знати координати цих точок.

Алгоритм простий:

1. Нехай задані точки A(x₁, y₁) та B(x₂, y₂).
2. Обчисліть кутовий коефіцієнт:
   k = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
3. Знайдіть b, підставивши координати однієї з точок:
   y₁ = kx₁ + b → звідси b = y₁ – kx₁

Таким чином, рівняння прямої що проходить через точки матиме вигляд: y = kx + b.

Як скласти рівняння прямої у загальній формі

Інколи пряму подають у вигляді Ax + By + C = 0. Перетворити канонічну форму y = kx + b у загальну просто:

• Переносимо всі члени: kx – y + b = 0
• Замість k і b підставляємо обчислені значення.

Ця форма зручна для перевірки належності точки до прямої.

Скласти рівняння дотичної до функції

Наступна поширена задача — скласти рівняння дотичної до графіка функції. Дотична — це пряма, яка «доторкається» до кривої в одній точці, не перетинаючи її в безпосередньому оточенні.

Порядок дій:

1. Знайдіть похідну функції — вона показує кутовий коефіцієнт дотичної.
2. Задайте точку дотику: (x₀; y₀), де y₀ = f(x₀).
3. Обчисліть значення похідної у точці дотику: f'(x₀) = k.
4. Запишіть рівняння дотичної: y – y₀ = k(x – x₀).

Таким чином, знаючи похідну та координати, ви легко зрозумієте, як скласти рівняння дотичної до функції.

Читайте також: Що таке дієприкметник

Як скласти рівняння дотичної до графіка функції: приклад

Нехай f(x) = x². Треба скласти рівняння дотичної у точці x₀ = 2.

1. Похідна: f'(x) = 2x → f'(2) = 4.
2. Значення функції: f(2) = 4.
3. Рівняння дотичної: y – 4 = 4(x – 2).

У спрощеному вигляді: y = 4x – 4.

Практика: скласти рівняння прямої що проходить через точки

Розглянемо приклад:

Задано точки P(1, 2) і Q(3, 6).

1. k = (6 – 2) / (3 – 1) = 4 / 2 = 2.
2. b = 2 – 2*1 = 0.

Отже, рівняння прямої за двома точками: y = 2x.

Поради для кращого засвоєння

Щоб краще зрозуміти, як скласти рівняння прямої чи дотичної, варто пам’ятати кілька простих речей:

• Користуйтесь похідною для дотичних.
• Для прямої через дві точки обов’язково обчислюйте k.
• Завжди перевіряйте результат підстановкою координат.

Як скласти рівняння складніших об’єктів

Якщо вам потрібно знайти рівняння параболи, кола чи іншої кривої, принципи схожі. Збираються умови (координати точок, радіус, центр) і підставляються у відповідну канонічну формулу.

Висновок

Тепер ви знаєте, як скласти рівняння прямої що проходить через точки, як знайти рівняння дотичної до графіка функції та як перевірити правильність розрахунків. Навички складання рівнянь відкривають двері до розв’язання складних геометричних і аналітичних задач. Головне — практика й уважність.